Первая лекция

Содержание:

• Положение
• Введение
  • Проблема остановки

Положение

• Зачет - к/р на последней паре
• На практике можно заработать 20 баллов
• За к/р можно получить 80
• Всего нужно набрать 40 баллов

Можно сказать, что опыт данного курса позволит отсекать задачи, в которые лучше не лезть.

Введение

$Q$ - множество состояний

$\sum$ - входной алфавит

$\delta$ - функция перехода $(Q ⋅\sum → Q⋅\sum ⋅ {→, ←, ↓, ↑})$

$q_{1}$ - начальное состояние

$q_{0}$ - конечное состояние

Машина Тьюринга - это пятерка ${Q, \sum, \delta, q_{1}, q_{0}}$

| |a|b|0|1|a|....|
   ▲
   состояние входной ленты: то, что на ней записано + положение головки машины

Конфигурация - способ записи ленты, где указатель заменен на символ $q$ (смотрит на следующий символ)

$Q = {q_{0}; q_{1}; … q_{n}}$

$\delta(q_{j};0)=(q_{j};1;→)$ - переходим в конфигурацию $ab1q_{j}1a$

Задача: Есть n единичек, указатель смотрит на любую из них, необходимо написать n+ единичу (дописать в пу)

| | |1|1|1| |...|
       ▲

→ - означает, что состояние не изменилось, символ не изменился, просто сдвинулись вправо

Будем считать, что натуральные числа содержат {0}.

Функция $f: N→N$ назовем вычислительной по Тьюрингу, если существует Машина Тьюринга, которая принимая на вход n единиц, завершает работу и оставляет после себя $f(n)$ единиц, если $f(n)$ определенна, и не заканчивает работу иначе.

Задача - {условие, входные данные, выходные данные} есть нахождение выходных данных из данных условий и входных данных.

1. Набор типов входных данных.
2. Набор типов выходных данных.
3. Правило, отображающее входные данные в выходные.

Алгоритмически размершимая задача(по Тьюрингу) - если существует Машина Тьюринга, которая, получая входные данные завершает работу и оставляет на ленте выходные данные.

Проблема остановки

Существует ли такая машина Тьюринга, которая анализирует описание другой Машины Тьюринга и входные данные для нее, и определяет остановится или зациклится анализируемая Машина Тьюринга.

Анализатор: $\begin{equation*} A(N, k)= \begin{cases} 1 &\text{не останавливается}\\ 0 &\text{останавливается} \end{cases} \end{equation*}$

Испорченный анализатор: $\begin{equation*} \overline{A}(N, k)= \begin{cases} 1 &\text{не останавливается}\\ \text{не останавливается} &\text{останавливается} \end{cases} \end{equation*}$

$D(N) = (N, N)$ - Диагонализатор

$\overline{N}$ - номер $\overline{A}$

$\overline{A}(D(\overline{N}))$ - запуск на самом себе

$\overline{A}(\overline{N}, \overline{N})$

Если не остановится, то выдаст 1, а значит остановится, верно и обратное.

Парадокс -анализатора не существует.

Вывод: проблема остановки неразрешима по Тьюрингу.