Четвертая лекция

Содержание:

$U(n, x)$

$U_n(x)$

$d(x)=U(x, x)$

$f(x)=U_n(x)$

$f(n)=U_n(n)=U(n, n)=d(n)$

$\overline{d(x)}=d(x)+1$

$\overline{d(x)}=d(x)+1$ - 1 ) Не всюду определена.

​ 2) Не имеет всюду определенного продолжения.

Область определения функции $\overline{d(x)}$ это множество 1) Перечислимо.

​ 2) Неразрешимо.

$U(n,x): n → U(n, x)$ (Суть, язык программирования)

$текст→вычисление$

Универсальная функция $U(n, x)$ называется главной, если для любой $V(q, y)$ существует транслятор $S(q)$ $V(q, y)=U(S(q), y)$

Теорема:

​ Главная нумерация существует.

$T_1(p, x)$ - универсальная функция.

$T_2(p, x, y)=T_1(p, c(x, y))$ - универсальная в классе функций двух аргументов.

$U(p, x) = T_2(\pi_1(p), \pi_2(p), x) = T_1(\pi_1(p), c(\pi_2(p), x))$ (“в коде программы должны содержаться инструкции, что она делает”)

$U(p, x)$ - главная нумерация.

Пусть $f(y)$ - вычислимая, $g(x, y)=f(y)$. Найдем $T_2$ - номер $g(x, y)$. Пусть это n.

$f(y)=g(0, y)=T_2(n, 0, y)=U(c(n, 0), y)$

Покажем, что $U$ - главная.

Рассмотрим $V(q, y)$

Пусть n - $T_2$ - номер $V$ ($T_2$ - универсальная функция класса двух аргументов)

$V(q, y) = T_2(n, p, q)=U(c(n, p), y)$

$S(q)=c(n, q)$ - искомый транслятор.

Теорема 2:

​ Пусть $U(p, x)$ - главная нумерация.

$U(p, U(q, x)) = U(c(p, q), x)$ (можно реализовать по отдельности $p, q$ а затем слить их в одну функцию).

Доказательство:

$U(\pi_1(q), U(\pi_2(q), x)) = V(q, x)$

$\exist S(q)$ $V(q, x)=U(s(q), x)$

$C(p, q)=s(c(p, q))$

$U(s(c(p, q)), x)=V(c(p, q), x)=U(p, U(q, x))$

$V(p(t), x)=U(t, x)$

Теорема 3 (о неподвижной точке):

Пусть $U$ - главная нумерация. Тогда для любой $p(t)$ существует $t_0$ $U(p(t_0), x) = U(t_0, x)$

$U(a(x), y)$ - вычислима + 2 аргумента.

$\exist s(x)$(всюду определенная) $U(a(x), y) = U(s(x), y)$

$p∘s=p(s(∘))$ существует $C(p, s) = q$

$U(q, x)=U(p, U(s, x))$

Рассмотрим $t_0=s(q)=s(C(p, s))$

$U(t_0, x)=U(s(q), x)=U(a(q), x)=U(U(q, q), x)=U(U(p, U(s, q)), x)=U(p(s(q)), x)=U(p(t_0), x$

$U(s(c(p, q)), x)=V(c(p, q), x)=U(p, U(q, x))$

Теорема 4 (Успенского-Райса):

Пусть $U$ - главгая нумерация, $f_i$ - нетривиальное свойство алгоритмов (функций).

Тогда $P_A{p:U(p, x)=U_p(x)\in A}$ - не разрешимо.

$a\in P_A$ $b\notin P_A$

$p(t) = a, t\notin P_A$

$p(t) = b, t\in P_A$

$t\in P_A$ $U(p(t), x)=U(b, x)\notin P_A => U(p(t), x) \neq U(t,x)$

$t\notin P_A U(p(t), x)=U(a, x)\in P_A => U(p(t), x)\neq U(t, x)$

Для $p(t)$ нет неподвижной точки.