Пятая лекция

Содержание:

• Алгоритмические множества

$A, B$ - множества

$A$ $m$-сводится к $B$ $(A\leq_m B)$, если существует вычислимая $f$ такая, что $x\in A \Leftrightarrow f(x)\in B$

Множество нетривиальное, если есть любое число, которое в нем лежит, и любое число, которое в нем не лежит.

$N,\empty \leq_m разрешимые \leq_m перечеслимые$

Свойства:

​ 1) $A\leq_m B$, $B разрешимо\Rightarrow Aразрешимо$

​ 2) $A\leq_m B$, $Bразрешимо\Rightarrow Aперечислимо$

Определение:

Множество $m$-полно в классе $K$, если оно лежит в $K$ и к нему $m$-сводится любое множество из $K$.

Теорема:

Существует $m$-полное перечислимое множество.

Пусть $U={(n,x)…}$ - универсальное перечислимое множество.

Пусть $K$ - перечслимо, тогда $K=U_n$ для некоторого $n$, $x\in K \Leftrightarrow c(n,x)\in V$

$c(n, *)$ сводит $K$ к $V$.

Теорема:

$U$-главное угиверсальное перечислимое.

$K$ - произвольное перечислимое

$V=K*N$ $(k,n)$

Сечение $V$ это

$N_{k\in K}$ или $\empty_{k\not\in K}$

$Uглавное\Rightarrow \exists s$ $V_n=U_{s(n)}$

$U_{s(n)} = N, n\in k$ $s(n)\in U_{s(n)}$ при $n\in K$

$U_{s(n)} = \empty, n\not\in k$ $s(n)\not\in U_{s(n)}$ при $n\not\in K$

$s(n)\in D$ при $n\in K$

$s(n)\not\in D$ при $n\not\in K$

Теорема:

$A \leq_m B$ $B\in \Sigma_n\Rightarrow A\in \Sigma_n$

$A\leq_m B$ $B\in \Pi_n \Rightarrow A\in \Pi_n$

$B\in \Sigma_n$ $x\in B\Leftrightarrow$ $\exists y_1 \forall y_2\exists y_3…y_n:P(x, y_1, y_2,…,y_n)$

$x\in A \Leftrightarrow f(x)\in B\Leftrightarrow \exists y_1\forall y_2…y_n:P(f(x), y_1, y_2…,y_n)$ $\Rightarrow A\in \Sigma_n$

Теорема:

Универсальное множество в $\Sigma_n$ не лежит в $\Pi_n$ (и наоборот).

$U(m, y_1, y_2,…,y_n, x)$

$x\in U\Leftrightarrow \exists y_1\forall y_2,…,y_n$ $(m, y_1, y_2,…,y_n, x)\in U$

Пусть $T$ универсально в $\Sigma_n$

$T={(m,x)…}$

Пусть $T\in\Pi_n$

Следствие: Все$\Sigma_n$ и $\Pi_n$ различны.

Алгоритмические множества

Множество $a={(x_1,…,x_n)}$ называется арифметическим, если существует формула, построенная из:

• Переменные $2_1,x_2,…x_n$ + вспомогательные.
• Логические операции ${\&}, \cup, \overline{a}, →, \leftrightarrow$
• Кванторы $\exists, \forall$
• $(-, +, *, =)$

$x\leq y \Leftrightarrow \exists n$ $x+n=y$

Теорема:

график любой вычислимой функции является арифметическим множеством.

Теорема1:

$\Sigma)n$ и $\Pi_n$ все арифметичные.

Теорема2:

Всякое арифметическое множество лежит в некотором $\Sigma_n$ или $\Pi_n$.

True - множество всех тождественно истинных арифметических формул.

Теорема:

Любое арифметическое множество $m$-сводится к $True$.

$A$ - арифм. $\alpha (x_1,…,x_n)$

$\overline\alpha(m)=\alpha(\Pi_1(m),\Pi_2(m),…,.\Pi_n(m))$

$m\in A\Rightarrow A\leq_m True$

Следствие1 (теорема Тарского):

True - не арифметично

Следствие2 (теорема Геделя о полноте):

True - не перечислимо.

Теорема:

Машина Тьюринга эквивалента полному набору действий (но число переменных - конечно, однако можно разложить натуральные числа…).

$Step(p, x_1, x_2…, x_n, p’, x_1’,…, x_n’)$ $p$ - текущая команда.

$x_1=x_2+1$

$p(7)→(x_1’=x_2+1){\&}(x_2’=x_2){\&}…(x_n’=x_n){\&}(p’=8)$.

Лемма1:

Лемма2:

$\forall x_0,x_1,…,x_n$ $\exists a, b$ $x_i=a mod(i+1)b+1$