Третья пара

Содержание:

• Задача
• Теорема существования
• Планирование работ
  • Теорема
    • Доказательство
      • ($\Leftarrow$) Необходимость
      • ($\Rightarrow$) Достаточность - дома

$G = (V, E, c)$, $s$, $t$, $c \geq 0$

$f: E \rightarrow \R$

1. $\forall e$ $(0 \leq f(e) \leq c(e))$

2. $\forall v \neq s, t$ $f(v_+) = F(v_-)$

   ​ $f(v_+) = \sum\limits_u f(v, u)$

$|f|$ $= f(s_+)$

Задача

В заданной сети найти максимальный поток

Теорема существования

Цепь в орг.графе - не обращаем внимание на ориентацию $\delta(e) = \begin{cases} c(e) - f(e),&\text{e - пр.}\\ f(e), &\text{e - обр.} \end{cases}$ $\delta(p) = \min{\delta(e) : e \in p}$

$p - f$-доп. $\delta(p) > 0$

Планирование работ

$M$ - станков

$N$ - изделий

$K$ - дней

Для каждого изделия $i$:

$\forall i : S_i$ - первый день, когда можно начинать изготавливать

​ $D_i$ - дней на изготовление

​ $T_i$ - последний день, когда изделие должно быть готово

​ $S_i + D_i -1 \leq T_i$

Сведем к стандартной задаче о потоках

$G = (V, E, c)$

$V = {s \cup t \cup V_1 \cup V_2}$

$V_1$ - все изделия $(V_1 = {i: i = 1, 2, .., N})$

$V_2$ - все дни $(V_2 = {j:j=1, 2, .., K})$

$E = {(s, i) : i = \overline{1, N}} \cup {(j, t) : j = \overline{1, K}} \cup {(i, j) : s_i \leq j \leq T_i}$

$c(s, i) = D_i$ $c(i, j) = 1$

$c(f, t) = M$

Теорема

Заказ выполним $\Leftrightarrow$ величина $\max$ потока $|f| = \sum\limits_{i=1}^N D_i$

Доказательство

($\Leftarrow$) Необходимость

​ Пусть $f - \max$ поток в $G$ и $|f| = \sum D_i$

​ Заметим, $\forall e = (s, i):$ $f(s, i) = D_i$

​ $\forall i: f(i_+) \leq M$

​ $i$ изделий в день $j \Leftrightarrow f(i, j) = 1$

($\Rightarrow$) Достаточность - дома