Типы уравнений

Содержание:

• С разделяющимися переменными
• Однородные
• Линейные
  • Линейные однородные
  • Линейные неоднородные
• Бернулли
• Риккати
• В полных дифференциалах
• Не разрешенные относительно производной

С разделяющимися переменными

$$y' = f(x) g(y)$$

1. $y’ = \frac{dy}{dx}$

   $\frac{dy}{dx} = f(x) g(y)$

2. Поделим на $g(y)$, полагая $d(y) \neq 0$:

   $\frac{dy}{g(y)} = f(x) dx$

3. Навесим интеграли на обе части:

   $\int{\frac{dy}{g(y)}} = \int{f(x)dx} + C$

4. Получаем функцию $y=y(x)$

5. И отдельно рассматриваем случай $g(y)=0$

6. Составляем из (4) и (5) ответ

Однородные

$$y' = Ф(\frac{y}{x})$$

1. Замена: y = ux

2. Получаем ДУ с разделяющимися переменными:

   $x \frac{du}{dx} = Ф(u) - u$

3. Отдельно рассматриваем случай $Ф(\frac{y}{x}) - \frac{y}{x} = 0​$

4. Составляем из решений (2) и (3) ответ

ОДУ вида $M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$ однородное, если $M$ и $N$ ф-ии одного и того же измерения. Решается так же.

Линейные

$$y' + a(x) y = b(x)$$

Линейные однородные

$$\frac{dy}{dx} + a(x) y = 0$$

Решается как ДУ с разделяемыми переменными

Линейные неоднородные

$$\begin{cases} \frac{dy}{dx} + a(x) y = b(x)\\ b(x) \neq 0 \end{cases}$$

Решается методом вариации произвольной постоянной (методом Лагранжа):

1. Решаем однородное уравнение $\frac{dy}{dx} + a(x) y = 0$

   $y = C y(x)$

2. Считая $C$ функцией от $x$, подставляем в исходное уравнение:

   $\frac{dC}{dx}y(x) + C y’(x) + a(x) C y(x) = b(x)$

3. Выражаем $C=С(x)$ через $C_1$и подставляем в $y = C y(x)$:

   Ответ: $y = C_1 y(x)$

Бернулли

$$y' + a(x) y = b(x) y^n$$

1. При $n=1, n=0$ решаем как линейное ДУ

   Иначе, поделим обе части на $y^n$, полагая $y \neq 0$:

   $\frac{y’}{y^n} + \frac{a(x)}{y^{n-1}} = b(x)$

2. Замена: $z = y^{1-n}$

3. Получим линейное ДУ:

   $\frac{z’}{1-n} + a(x) z = b(x)$

Риккати

$$y' = P(x) y^2 + Q(x) y + R(x)$$

1. Если $P(x) \equiv 0$, то решается как линейное неоднородное

2. Если $R(x) \equiv 0$, то решается как ур-ие Бернулли с $n = 2$

3. В общем случае, ур-ие Риккати не интегрируется в квадратурах

4. Если известно частное решение, то интегрирование возможно:

5. Пусть $y = y_1(x)$ - частное решение

   Введем ф-ию $z$ по формуле $y = z + y_1$

   Подставляем в ур-ие:

   $$\frac{dz}{dx} + \frac{dy_1}{dx} = P z^2 + 2 P y_1 z + \\ + P y_1^2 + Q z + Q y_1 + R$$ $$\frac{dz}{dx} = (2 P y_1 + Q) z + P z^2$$

   Решаем как ур-ие Бернулли с $n = 2$

В полных дифференциалах

$$M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$$

является ур-ием в полных дифференциалах, если $\exists F(x, y):$

$dF(x, y) = M(x, y) dx + N (x, y) dy \ \ \ (1)$

Условие эквиваленто выражению $\large \frac{\partial M}{\partial y} \equiv \frac{\partial N}{\partial x} \ \ \ (2)$

1. Проверяем, что условие (2) выполняется

2. Тогда, $M(x, y)dx + N(x, y)dy \equiv F’_x dx +F_y dy$

   из $M(x, y) = F’_x dx$ находим $F(x, y) = \int M(x,y) dx$

3. Берем прозводную по $y$ и подставляем: $F’_y = N(x,y)$

   Полученная ф-ия $F(x, y)$, неявно задающая $(x, y)$, является ответом

Не разрешенные относительно производной

$$F(x, y, y') = 0$$

1. Замена $y’ = p$:

   $F(x, y, p) = 0$

2. Выражаем $y$:

   $y = f(x, p)$

3. Находим полный дифференциал

   $dy = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial p} dp = pdx$

   $(\frac{\partial f}{\partial x} - p) dx + \frac{\partial f}{\partial p} dp = 0$

   $M(x, p) dx + N(x, p) dp = 0$

4. Решить как ДУ в полных дифференциалах

   Находим $x = x(p)$

5. …