Тервер.asmАлгоритмыКомбалгJSMarkupHackWeb

Линейные нормированные пространства

Содержание:

Литература

Колмогоров Л.Н. Фомин С.В. Элементы теории фкнции и функционального анализа

Люстерник, Соболев Основы функционального анализа

Методичка … Функциональный анализ для бакалавров

Задачник Глазыриной, Дейкалова, Колкина - Нормированные пространства - типовые задачи

Топологические пространства, метрические пространства, линейные нормированные пространства

Пусть $X$ - это множество, а $\tau \subset 2^X$.

Семейство $\tau$ называется топологией, если выполняются следующие аксиомы:

$U \in \tau$, $U$ - открытое множество

$(X, \tau)$ - топологическое пространство, $X$ - топологическое пространство

Примеры:

Семейство множеств $B \sub 2^X$ - топология $\tau$, если:

  1. $B \subset \tau$
  2. $\forall\ U \in \tau ($для любого открытого мн-ва $U) \ \exists\ {V_\alpha} \displaystyle\subset_{\alpha \in A} B \ \ U = \displaystyle\bigcup_{\alpha \in A} V_\alpha$

$B(x) = {V\in B: x \in V}$ - база в точке

$B(q) = {(q- \frac{1}{n}, q+\frac{1}{n}) n \in \mathbb{N}}$

$q \in Q$

$B = U\ B(q)$ - база

$B(x)$

$U$ называется открытым $\Leftrightarrow$ $\forall x\in U\ \exists V \in B(x)\ V \subset U$

Утв. $B(x), x\in X $ порождает топологию, если:

  1. $U \in B(x) \Rightarrow x \in U$
  2. $\forall\ U,V\in B(x)\ \exists w \in B(x): W \subset U \cap V$
  3. $V \in B(x),\ y \in U \Rightarrow \exists V \in B(x) : V \subset U$

Доказательство.

$\Leftarrow$

  1. $x \in \emptyset ($ложь по опр.$) \Rightarrow \exists V \in B(x)\ V\subset \emptyset$ - истина

  2. $U_\alpha$ -открытое, $x \in \displaystyle\bigcup_{\alpha \in A} V_\alpha \Rightarrow \exists \alpha_0 x \in U_{\alpha_0} \Rightarrow \exists V \in B(x)$

  3. Пересечение открытых - открыто

    $V_1, V_2 $ - открытые, $x \in V_1 \cap V_2$

    $x \in V_1, x\in V_2 \Rightarrow \exists V_1, V_2 \in B(x): V_1 \subset U_1, V_2 \subset U_2 , V_1\cap V_2\subset U_1\cap U_2$

    $\exists W \subset B(x) : W \subset V_1\cap V_2\subset U_1\cap U_2$

$\Rightarrow$ (от противного)

Пример $\mathbb{R}^2$

Определение. Пусть $X$ - некоторое множество, на котором заданы топлогии $\tau_1, \tau_2$

Говорят, что $\tau_1 \prec \tau_2$ ($\tau_2$ сильнее $\tau_1$), если $\tau_1 \subset \tau_2$

Пример. $\mathbb{R}$

$B(x) = {[x, x+\varepsilon)}, \varepsilon > 0$ Зоргенфрей

$B_\land(x) = {(x-\epsilon, x]}$

Опр. $F\subset X$ - замкнутое, если $X\setminus F$ - открытое

Свойства замкнутых множеств:

  1. $X, \emptyset$ - замкнутые
  2. $F_\alpha$ - замкнутое, $\alpha \in A$ $\Rightarrow \displaystyle\bigcap_{\alpha \in A} F_\alpha$ -замкнутое
  3. $F_1, F_2$ -замкнутые $\Rightarrow F_1 \cup F_2 $-замкнутое

Доказательство 3-го:

$F_1, F_2$ - замкнутые

$U_1 = X\setminus F_1$, $U_2 = X\setminus F_2$ - открытые

$X\setminus (F_1 \cup F_2) = (X\setminus F_1) \cap (X \setminus F_2) = U_1 \cap U_2$ - открытое

Пример: $\mathbb{R}$ $F_n = [-1+\frac1n, 1- \frac1n]$

$\displaystyle\bigcup^{\infty}_{n=1}F_n = (-1,1)$

Вспомним:

${x_n}_{n=1}^\infty \subset X$ сходится к $x \in X$ (потребуем, чтобы было в $X$), если

$\forall U \in B(x)\ \ \exists N\ \forall n > N\ x_n \in U$

Пример:

Пусть $X$ - некоторое множество

Отображение $\rho : X \times X \rightarrow \mathbb{R}$ - Метрическое пространство, если:

  1. $\forall x,y \in X \rho(x,y) \geq 0$ и $\rho(x,y) = 0 \Leftrightarrow x=y$
  2. $\forall x,y \in X\ \rho(x,y) = \rho(y,x)$
  3. $\forall x,y,z \in X $ $\rho(x,y) \leq \rho(x,y) + \rho(y,z)$

Множество с заданной на нем метрикой $(X, \rho)$ называется метрическим пространством (говорят - метрическое пространоство $X$, если метрика известна из контекста)

Свойства:

  1. $\rho(x,y) \leq \rho(x,z_1)+\rho(z_1,z_2)+ \dots + \rho(z_n, y)$

  2. |$ \rho(x,y) - \rho(y,z) $| $\leq \rho(x,z)$

    $\rho(x,y) \leq \rho(x,y) + \rho(y,z)$ $\rho(y,z) - \rho(x,y) \leq \rho(x,z)$

    $\rho(x,y) \leq \rho(x,z) + \rho(y,z)$ $\rho(x,y) - \rho(y,z) \leq \rho(x,z)$

Опр. Открытым шаром называют $O_r(x) = B(x,r) = {y\in X \mid \rho(x,y) < r}$

Опр. Закрытым шаром называют $B[x,r] = {y\in X \mid \rho(x,y) \leq r}$

$S_r(x) ={y \in X \mid \rho(x,y = r)}$

Утв. $X$ - метрическое пространство, $x$ - точка в нем, $x\in X$

$B(x) = { B(x,r)\mid r > 0}$ обладает свойствами 0,1,2 базы в точке.

Доказательство

  1. $B(x, r_1) \cap B(x, r_2) = B(x, min{r_1, r_2})$

  2. $y \in B(x,r)\ \exists r_y \ B(y, r_y) \subset B(x,r)$

    $r_y = r - \rho(x,y)$

    $z \in B(y, r_y)$

    $\rho(z,x) \leq \rho(z,y) + \rho(x,y) < r_y + \rho(x,y) = r​$, т.е. $z \in B(x, r)​$

Множество в геометрическом пространстве назывется открытм $\Leftrightarrow$ когда любая точка входит в неё с некоторой окрестностью.