Первая лекция

Содержание:

• &1. Основные понятия
  • Обыкновенный граф
  • Изоморфизм
  • Смежность вершины
  • Степень вершины
  • Лемма 1
    • Следствие
  • Нулевой граф
  • Полный граф
  • Двудольный граф
• Маршруты, циклы, цепи
  • Разрезающее множество
  • Разрез

&1. Основные понятия

Обыкновенный граф

$e = (V, E);$ (n, m) - граф

две схемы графа, пересечения и петли

$G = (V, E, \phi); \phi : E \rightarrow V^{(1)} \cup V^{(2)}$

$\phi(e) = {a, b}; e = ab$

$f = ab = ba;$

граф из одного ребра. Петля.

Изоморфизм

$G_1 = (V_1 E_1, \phi_1); G_2 = (V_2, E_2, \phi_2)$

Если сущ-ет отображение: $\psi: V_1 \rightarrow V_2$

$a, b \in V_1$

$a, b; \psi(a), \psi(b)$

Смежность вершины

$G = (V, E)$

$a, b; e = (a, b)$

Степень вершины

$deg_G(a)$

Лемма 1

Для любого графа $G = (V, E)$ выполняется:

$\Large\sum\limits_{v \in V} deg(v) = 2|E|$

Следствие

В любом графе число вершин нечётной степени - чётно.

Нулевой граф

$O_4$ = ::

Полный граф

$K_4$ =

o-o
|X|
o-o

$K_n \Rightarrow m = C_n^2$

Двудольный граф

$K_{p, q}$

Два множества вершин, из $p$ и $q$ - соответственно. Каждая вершина с первого множества смежна с каждой вершиной из второго, и наоборот.

...

.....

$G=(V,E)$ $H=(U,D)$ $U\subseteq V$, $E\subseteq D$

$SubE$ $H\leq G$

$H_{1}\lor H_{2}$ $H_{1}\cup H_{2}$ $E_{1}\cup E_{2}$

$H_{1}\land H_{2}$ $H_{1}\cap H_{2}$ $E_{1}\cap E_{2}$

$SubG→P(V)*P(E)$

Маршруты, циклы, цепи

$G=(V, E)$

$v_{0},e_{1},v_{1}…e_{t},v_{t}$ $e_{i}=v_{i-1}v_{1}$ $v_{0}=v_{t}$

$S\subseteq E$

$G(V_{1})…G(V_{k})$

$G=G(V_{1}\dot\cup G(V_{2})…\dot\cup G(V_{k}))$

Разрезающее множество

Множество ребер, при удалении которых нарушается связность графа.

Разрез

Минимальное по вхождению разрезающее множество ребер.