Вторая лекция

Содержание:

• Лемма 1
  • Определение
  • Доказательство
• Лемма 2
  • Доказательство
• Теорема 1
  • Доказательство
• Теорема 2 (Д. Кёнига)
  • Доказательство
    • ($\Rightarrow$) Необходимость
    • ($\Leftarrow$) Достаточность
• Матрица смежности
• Матрица Кирхгофа
• Лемма 3
  • Доказательство

Лемма 1

Если в графе имеется $(u, v)$-маршрут,

то в нём имеется и простая $(u, v)$-цепь.

Определение

Простая цепь - маршрут без повторений вершин

Доказательство

u --- * --- * --- v
      |     |
      * --- *

Лемма 2

Если из графа удалить разрез,

то число компонентов связности увеличится на 1.

Доказательство

1. Удаляем мост $e = uv$ $u \neq v$
   1. Нет $e$ $w, v$
   2. Есть $e$ $w, u$
2. $S = e_1, e_2, …, e_t$ $t>1$ $G’ = G{e_1, e_2, …, e_{t-1}}$

Теорема 1

Для любого $(n, m, k)$-графа выполняется:

​ $n-k \leq m$

Доказательство

Индукция по числу рёбёр

• База: $m = 0$

• Шаг: $m \geq 1$, выполняется для $m-1$

  Докажем для $m$

  $G$ $e$ $G’ = G - e = (n, m-1, k’)$-граф

  $k \leq k’ \leq k+1$

  $m -1 \geq n - k’ \geq n - (k + 1) = n - k -1$

  $m \geq n - k$

$n-k = r(G)$ $rank(G)$

Теорема 2 (Д. Кёнига)

Ненулевой граф является двудольным $\Leftrightarrow$ не содержит циклов нечётной длины.

Доказательство

($\Rightarrow$) Необходимость

Методом пристального взгляда

* * *
|/|/|
* * *

($\Leftarrow$) Достаточность

Зафиксируем вершину $v_0$

Разделим множество вершин, на два: с четной длиной маршрута до $v_0$ и с нечетной.

$V = V_0 \cup V_1$ $v_0 \rightarrow … \rightarrow n$

$e = uv$ $u,v \in V_i$

$v_0 \rightarrow … \rightarrow u$ $P_1$

$v_0 \rightarrow … \rightarrow v$ $P_2$

              P1
(v0) --- (w) ---- (u)
		   \       |
            \____ (v)
              P2

Матрица смежности

$G = (V, E)$ $v_1, v_2,.., v_n$ $A = A(G) = (\alpha_{ij}){n×n}$ $\forall i, j:\alpha{ij} = \alpha_{ji}$

$T^{-1}A_1T = A_2$ $det(xE-a)$

$\sum\limits_{j=1}^n \alpha_{ij} = deg(v_i)$

$\sum\limits_{i=1}^n \alpha_{ij} = deg(v_j)$

Матрица Кирхгофа

$G=(V,E)$ - обыкновенный граф

​ $v_1, v_2, .., v_n$

$B = B(G) = (\beta_{ij})_{n×n}$ $$ B = \begin{bmatrix} deg(v_1)& …& 0
…& deg(v_2)& …
0& …& deg(v_n) \end{bmatrix}

• A $$ $\sum\limits_{j=1}^n \beta{ij} = 0$

$\sum\limits_{i=1}^n \beta_{ij} = 0$

Лемма 3

Все алгебраические дополнения к элементам матрицы Кирхгофа - одинаковы.

Доказательство

$G$ $B=(\beta_{ij})_{n×n}$ $det B$

Сумма столбцов равна 0.

$r(B) = \leq n-1$

1 сл.: $r(B) < n-1$ $B_{ij} = 0$

2 сл.: $r(B) = n-1$ $B' = \begin{bmatrix} B_{11}& B_{21}& B_{n1}\\ B_{12}& B_{22}& B_{n2}\\ B_{1n}& B_{2n}& B_{nn} \end{bmatrix}$ $B B’- (det B) E = 0_{n×n}$

$B X_{n×1} = 0{n×1}$ $d = n - r(B) = 1$ $R^n$ 1 = $[1]{n×1}$ $B$ 1 $= 0$

$X = \lambda$ 1 1$^t B = 0_{n×n}$