Третья пара

Содержание:

$G=(n, m, r)$ - граф

$m - (n - R) = m - n + R = r^*(G)$

$n-R = r(G)$

$r(G)+r^*(G)=m$

Лемма 3:

Пусть $T$ и $S$ - два остова графа $G$. Тогда для любого $e\in ET$ существует $f\in ES$ такое, что $T-e+f$ - остов графа $G$.

Лемма 1:

Пусть $H$ - $(n, n-1)$ - граф, $n\geq 2$, $I$ - матрица инцид. некоторой ориентации графа $H$ и $M$ - минор порядка $n-1$ матр. $I$ над $\real$. Тогда:

1) Если $H$ - не является деревом, то $M=D$

2) Если $H$ - дерево, то $M=\pm 1$

Доказательство:

1) $H$ - не дерево ${v_1, v_2,…, v_t}$ нет $v$

$t=1$ $M=0$

$t\gt1$

2) $H$ - дерево.

$v_1\neq v, e1$ $H_1=H-v_1$ $v_2\neq v

e_2$ $H_2=H_1-v_2$

$H_{n-1}$

$v_1, v_2,…,v;e_1,e_2,…e_{n-1}$

Теорема Кирхгофа(1847):

​ Число остовов в связном неоднол. обыкновенном графе $G$ равно любому из алгебр дополняющих элементов его матрицы Кирхгофа $B$.

Доказательство:

$B=II^t$ $nm$ $n-1\leq m$

$J*J^t=B’$ $B_{nn}=detB’=\sum\limits_M{M^2}$

Теорема Кели(1897):

​ Число остовов в $K_n$ равно $n^{n-2}$