Криптосистемы с открытым ключом

Содержание:

• Цифровая подпись
• Отличие от симметричных криптосистем
  • Минусы
  • Плюсы
• Криптосистемы с открытым ключом
  • Протокол Диффи - Хеллмана
    • Алгоритм
    • Пример
  • Алгоритм RSA
    • Алгоритм
    • Шифрование и расшифровывание
    • Пример

Цифровая подпись

В основе криптографических систем с открытым ключом лежат **односторонние функции** – такие функции обладают следующими свойствами:

1. По известному $x$ достаточно просто вычислить $f(x)$.
2. По известному $f(x)$ достаточно сложно вычислить $x$.

Отличие от симметричных криптосистем

Минусы

1. Скорость работы алгоритмов с открытым ключом намного ниже. Поэтому такие шифры используются для шифрования небольших по размеру данных, например, ключей.
2. Длина ключей значительно больше, чем в симметричных криптосистемах.

Плюсы

1. Удобное распределение открытых ключей, не требует секретности.
2. В больших сетях число ключей значительно меньше, чем в симметричной криптосистеме.

Криптосистемы с открытым ключом

Протокол Диффи - Хеллмана

Алгоритм Ди́ффи — Хе́ллмана — криптографический протокол, позволяющий двум и более сторонам получить общий секретный ключ, используя незащищенный от прослушивания канал связи. Полученный ключ используется для шифрования дальнейшего обмена с помощью алгоритмов симметричного шифрования.

Алгоритм

1. Алиса и Боб выбрали общий генератор (g) и модуль (p - простое число).
2. Алиса и Боб выбрали по одному скрытому ключу (a и b соответственно).
3. Алиса и Боб вычислили A = $g^a mod(p)$ и B = $g^b mod(p)$ соответственно.
4. Алиса и Боб обменялись полученными результатами.
5. Алиса вычислила K = $B^a mod(p)$
6. Боб вычислил K = $A^b mod(p)$
7. Теперь у Алисы и Боба есть общий ключ (K).

• Этот математический трюк обосновывается свойствами остатков

Пример

Алгоритм RSA

Rivest, Shamir, Adleman

RSA — криптографический алгоритм с открытым ключом, основывающийся на вычислительной сложности задачи факторизации больших целых чисел. Для шифрования используется простая операция возведения в степень по модулю N. Для расшифрования же необходимо вычислить функцию Эйлера от числа N, для этого необходимо знать разложение числа n на простые множители (В этом и состоит задача факторизации).

В RSA открытый и закрытый ключ состоит из пары целых чисел. Закрытый ключ хранится в секрете, а открытый ключ сообщается другому участнику, либо где-то публикуется.

Алгоритм

1. Выбираются два различных случайных простых числа p, q.
2. Вычисляется модуль n = $pq$
3. Вычисляется значение функции Эйлера $Ф(n) = (p-1)(q-1) $
4. Выбирается целое число e: $1<e<Ф(n)$, взаимно простое со значением функции $Ф(n)$. Число e называется открытой экспонентой.
5. Выбирается целое число d: $(de) mod Ф(n) = 1$ Число называется секретной экспонентой.
6. Пара {e, n} – открытый ключ RSA
7. Пара {d, n} – закрытый ключ RSA

Шифрование и расшифровывание

Алиса заранее сгенерировала закрытый и открытый ключ, а затем отправила открытый ключ Бобу. Боб хочет послать зашифрованное сообщение Алисе:

Шифрование: Боб шифрует сообщение m, используя открытый ключ Алисы (e, N): $C=E(M)=M^emod(N)$ Расшифровывание: Алиса принимает зашифрованное сообщение c. Используя закрытый ключ (d, N), расшифровывает сообщение: $M=D(C)=C^dmodN$

Пример

1. Зашифруем и расшифруем сообщение “RSA” по алгоритму RSA. Для простоты возьмем небольшие числа: p=3 и q=11.

2. Определим n= 3*11 = 33.

   $Ф(n) = (p-1)(q-1)=20$.

3. Пусть e = 7: открытая экспонента.

4. Находим d: $(7*d) mod 20 = 1$.

   d = 3, т. к. по теореме Эйлера $d = e ^{(Ф(n)-1)} mod n$.

5. Представим шифруемое сообщение как последовательность чисел в диапазоне от 0 до 32. Буква А =1, В=2, С=3 и т.д.

   $R = 18; S = 19; A = 1;$

6. Теперь зашифруем сообщение, используя открытый ключ {7,33}

   $C1 = (18^7) mod 33 = 6;$

   $C2 = (19^7) mod 33 = 13;$

   $C3 = (1^7) mod 33 = 1;$

7. Теперь расшифруем данные, используя закрытый ключ {3,33}.

   $M1=(6^3) mod 33 =18(R); $

   $M2=(13^3) mod 33 =19(S); $

   $M3=(1^3) mod 33 = 1(A); $